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수학의 모험

철학자 이진경이 만난 천년의 수학

이진경 저 | 생각을말하다 | 2021년 03월 20일

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품목정보

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발행일	2021년 03월 20일
쪽수, 무게, 크기	364쪽 \| 670g \| 15222321mm

중고도서 소개

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책소개

근대 수학사를 바꾼 위대한 발견들, 역설이 만든 경이로운 사유들 수학자들은 자연을 수학화하려는 야심가들이었다. 근대 과학의 아버지라 불리는 갈릴레오는 물체의 자유낙하를 수학 공식으로 바꾸었고, 케플러도 태양계 행성의 운동 법칙을 눈이 멀도록 계산했다. 라이프니츠와 뉴턴은 지구상의 모든 운동을 미적분 공식으로 간단히 계산하려고 했다. 미적분의 발견은 자연을 계산가능성의 세계로 포섭하려는 보편수학의 가능성을 열어젖혔다. 하지만 0은 아니지만 0에 가까운 '무한소'의 역설이 수학자들을 끊임없이 괴롭혔다. 풀리지 않은 역설은 수학의 지반을 아슬아슬하게 흔들었다. 불완전한 무한소 개념 위에서 정립된 해석학, 2천 년간 불변의 진리로 여겨졌던 평행선 공리를 뒤엎은 비유클리드기하학, 모든 집합들의 집합은 존재하지 않는다는 칸토어의 역설 등 모순과 역설 앞에서 수학은 기초가 취약한 지식 체계임이 드러났다. 그럼에도 안정적이고 불변적인 수학의 기초를 확립하려는 수학자들의 고투는 계속되었다. 기하학은 불변성을 확보하고자 노력했고, 칸토어는 수의 기초를 확고히 하고자 집합의 개념을 창안했지만 역설에 부딪혀 좌절하고 만다. 역설은 논리학과 수학 전반의 문제였다. 힐베르트는 수학의 형식 체계를 구축하기 위해 공리계의 모든 명제가 증명 가능하고(완전성), 서로 모순된 결과를 끌어내지 않는다는 것(무모순성)을 증명하려는 야심한 기획을 내놓지만, 어떤 공리계도 자신의 완전성과 무모순성을 증명할 수 없다는 것을 증명한 괴델의 정리로 수학자들의 진리 게임은 무산된다. 괴델의 불완전성의 정리는 수학자들이 좋아하는 진리란 수학에는 존재하지 않는다는 일종의 선언이었다. 이 책은 17세기부터 19세기에 이르기까지 근대 과학혁명의 기초를 세운 수학자들의 위대한 발견과 도전을 다룬다. 운동에서 법칙을 발견하고 수학의 계산가능성을 확장한 미적분으로부터 수학의 개념을 파생·변환하면서 확립된 해석학, 기하학, 집합론에 이르기까지 수학사를 바꾼 발견들이 파노라마처럼 펼쳐진다. 수학자들의 극한의 상상력이 어디까지 나아가는지도 볼 수 있다.

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저자 소개 (1명)

저 : 이진경 (이진경,본명 : 박태호)

작가 파일

지식공동체 수유너머104 연구원, 서울과학기술대학교 인문사회교양학부 교수. 『철학과 굴뚝청소부』를 시작으로, 자본주의와 근대성에 대한 이중의 혁명을 꿈꾸며 쓴 책들이 『맑스주의와 근대성』『근대적 시·공간의 탄생』『수학의 몽상』『철학의 모험』『근대적 주거공간의 탄생』『필로시네마, 혹은 탈주의 철학에 대한 10편의 영화』 등이다. 사회주의 붕괴 이후 새로운 혁명의 꿈속에서 니체, 마르크스, 푸코, 들뢰즈·가타리 등과... 지식공동체 수유너머104 연구원, 서울과학기술대학교 인문사회교양학부 교수. 『철학과 굴뚝청소부』를 시작으로, 자본주의와 근대성에 대한 이중의 혁명을 꿈꾸며 쓴 책들이 『맑스주의와 근대성』『근대적 시·공간의 탄생』『수학의 몽상』『철학의 모험』『근대적 주거공간의 탄생』『필로시네마, 혹은 탈주의 철학에 대한 10편의 영화』 등이다. 사회주의 붕괴 이후 새로운 혁명의 꿈속에서 니체, 마르크스, 푸코, 들뢰즈·가타리 등과 함께 사유하며 『노마디즘』『자본을 넘어선 자본』『미-래의 맑스주의』『외부, 사유의 정치학』『역사의 공간』『우리는 왜 끊임없이 곁눈질을 하는가』『사랑할 만한 삶이란 어떤 삶인가』 등을 썼다. 『코뮨주의』『불온한 것들의 존재론』『삶을 위한 철학수업』『파격의 고전』 등을 쓰면서 지금 여기에서의 삶을 바닥없는 심연 속으로 끌고 들어가고 있다.

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책 속으로

서구에서는 오랫동안 수학이 거의 절대적인 의미에서 진리로 여겨졌다. 예를 들어 유클리드기하학은 절대적인 진리의 자리를 차지하고 있었다. 그러나 19세기 중반을 거치면서 유클리드기하학과 전혀 다른 종류의 기하학이 나타났다. 그 기하학에서는 평행선이 없거나 무수히 많다. 이처럼 상반되는 여러 가지 기하학이 공존하는데, 그 모두가 다 진리라고 할 수 있을까? --- 「제1장_ 수학의 초상화들」 중에서 갈릴레오가 있을 수도 없는 실험을 했다는 허구적 이야기까지 만들며 그가 과학혁명의 아버지가 되게 만든 것, 그것은 바로 운동이나 원리를 수학적인 공식으로 표현하려는 태도였다. 이를 보통 ‘자연을 수학화’한다고 말한다. 수학화하고 계산할 수 있게 만드는 것, 이것이 근대 과학의 핵심이었다. 이런 점에서 수학은 근대 과학의 중심에 있다고 말해도 좋다. --- 「제2장_ 근대 과학혁명과 수학」 중에서 ‘자연의 수학화’라고 불렀던 이상은 모든 법칙을 계산가능성의 공간 속으로 끌고 가려는 기획이기도 했다. 여기서 기하학을 대수적인 계산의 세계로 끌어들인 ‘해석기하학’은 또 하나의 중요한 기여를 한다. 이 역시 갈릴레오를 필두로 했던 근대 과학혁명을 이루는 또 하나의 축이었다. --- 「제3장_ 계산공간의 탄생」 중에서 근대수학의 비약적 발전은 0은 아니지만 결국에는 0으로 취급하게 되는 ‘무한소’라는 개념을 수학 안에 끌어들인 대가로 가능해졌다. 그것은 논리적으로 모순율을 어기는 것이란 점에서 수학적으로 용인될 수 있는 개념이 결코 아니었다. 가우스와 같은 엄격한 수학자들을 공포에 떨게 했던 악마적인 개념이었다. 누구도 떨치기 힘든 유혹인 미적분학의 마술적인 힘은 어쩌면 무한소라는 이 악마적인 개념을 받아들이는 거래의 대가로 얻게 된 것이었다. --- 「제4장_ 수학의 마술, 혹은 마술사의 수학」 중에서 데카르트는 ‘기하학의 대수화’라는 발상이 단지 말 그대로 ‘수학’에만 해당한다고 생각하지 않았다. 많은 이들도 당시에는 천문학, 음악, 미술, 광학, 역학 및 다른 학문들을 수학의 분과로 여겼다. 사실 천문학이나 역학(물리학) 등이 수학으로 취급되는 것은 그것이 수학에 얼마나 기대고 있는지 알기에, 또 그 요체가 ‘수학화’라는 것을 알기에 자연스럽다. 아마 뜻밖인 것은 음악이나 미술일 것이다. 음악이 수학의 일부였던 것은 ‘그리스 이래’ 서구 음악의 중요한 전통이었다. --- 「제5장_ 세계를 수학화하려는 꿈」 중에서 보여이와 로바체프스키는 유클리드기하학의 평행선 공리를 다른 공리로 대체하여 전혀 다른 종류의 기하학이 만들어질 수 있다는 것을 보여주었다. 사실 평행선 공리를 증명하려 했던 수학자들의 오랜 노력은 2천 년이 넘도록 서구의 수학과 과학에 모범과 기반을 제공하던 유클리드기하학에서 불안정한 요소를 무의식적으로 감지하고, 그것을 제거하려는 시도라고 말해도 좋을 것이다. 수학의 엄밀함과 안정성에 누구보다 앞선 감각과 누구보다 강한 기준을 제시한 가우스도 이런 노력의 일환으로 평행선 공리를 연구했다. 그러나 그것을 증명하는 것이 불가능하며, 반대로 그것이 부정될 수도 있다는 것을 알고는 조용히 그 위험한 상자를 닫아버렸다. --- 「제6장_ 해석학의 위기, 기하학의 모험」 중에서 “무한소 개념을 넘으려는 시도들이 있었지. 특히 프랑스인 달랑베르와 코시는 여기에 큰 기여를 했어. 그러나 코시의 방법조차 ‘어디에 한없이 가까이 간다’는 식의 개념에서 벗어나지 못하고 있어. 뾰족한 점을 갖는 그래프는 그 뾰족한 점에서 미분 불가능하다는 건 잘 아시지? 그런데 만약 모든 점에서 연속이지만 모든 점에서 미분 불가능한 함수가 있다면 어떨까? 그럼 뾰족하게 날선 곡선이 모든 점들을 가득 채우고 있는 그런 함수라면 말이야. 좌 미분계수가 얼마인지, 우 미분계수가 얼마인지, 어떤 점에서도 알 수 없는 그런 곡선 말이야.” --- 「제7장_ 산수와 대수의 힘」 중에서 엄밀한 근거, 확고한 기초를 찾으려는 19세기 수학자들의 노력은 결국 산수와 대수, 혹은 그것들의 기초에 있는 수 자체를 향해 나아갔다. 수학이 수를 다루고, 수적인 질서를 다루는 것인 한, 기초를 찾으려는 노력이 수를 향해 나아간 것은 어쩌면 당연하고 자연스러운 것인지도 모른다. 해석학을 산술화하고, 기하학을 대수화하려는 노력과 다른 차원에서 수 자체의 질서를 근본적으로 검토하고 정돈하려고 했던 칸토어의 시도가 자리 잡고 있는 것도 바로 이런 전반적 흐름 속이었다. ‘집합’이라는, 수학의 가장 기초적인 개념이 탄생한 것도 이런 맥락에서였다. --- 「제8장_ 집합론, 무한을 셈하다」 중에서 공리주의적 형식화와 그것의 증명에 대한 초증명에서 핵심적인 것은 공리계의 ‘완전성’과 ‘무모순성’을 입증하는 것인데, 이는 1931년 괴델이 증명한 유명한 정리에 의해 애당초 불가능한 것임이 증명된다. 그것은 형식주의적 프로그램의 파산 선고였던 셈이다. 수학의 엄밀한 기초를 확보하려는 19세기 이래의 노력은 20세기 들어와 ‘수학기초론’이라는 새로운 분과 학문을 만들어내기까지 했지만, 그 결과는 어느 것도 성공하지 못했다. ‘엄밀성, 엄밀성’을 주문처럼 외면서 천국의 열쇠를 찾으려는 19세기 이래의 편집증적인 시도는 그렇게 끝이 났다.

--- 「제9장_ 역설 없는 수학을 찾아서」 중에서

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출판사 리뷰

2천 년을 지배한 평행선 공리를 뒤집은 비유클리드기하학, 부분이 전체와 같아지는 집합론의 역설, 공리계 스스로 무모순성을 증명할 수 없음을 증명한 괴델의 정리. 역설이 만든 위대한 발견에서 천재 수학자들의 경이로운 사유를 읽는다! 근대 수학사를 바꾼 위대한 발견들, 역설이 만든 경이로운 사유들 수학자들은 자연을 수학화하려는 야심가들이었다. 근대 과학의 아버지라 불리는 갈릴레오는 물체의 자유낙하를 수학 공식으로 바꾸었고, 케플러도 태양계 행성의 운동 법칙을 눈이 멀도록 계산했다. 라이프니츠와 뉴턴은 지구상의 모든 운동을 미적분 공식으로 간단히 계산하려고 했다. 미적분의 발견은 자연을 계산가능성의 세계로 포섭하려는 보편수학의 가능성을 열어젖혔다. 하지만 0은 아니지만 0에 가까운 '무한소'의 역설이 수학자들을 끊임없이 괴롭혔다. 풀리지 않은 역설은 수학의 지반을 아슬아슬하게 흔들었다. 불완전한 무한소 개념 위에서 정립된 해석학, 2천 년간 불변의 진리로 여겨졌던 평행선 공리를 뒤엎은 비유클리드기하학, 모든 집합들의 집합은 존재하지 않는다는 칸토어의 역설 등 모순과 역설 앞에서 수학은 기초가 취약한 지식 체계임이 드러났다. 그럼에도 안정적이고 불변적인 수학의 기초를 확립하려는 수학자들의 고투는 계속되었다. 기하학은 불변성을 확보하고자 노력했고, 칸토어는 수의 기초를 확고히 하고자 집합의 개념을 창안했지만 역설에 부딪혀 좌절하고 만다. 역설은 논리학과 수학 전반의 문제였다. 힐베르트는 수학의 형식 체계를 구축하기 위해 공리계의 모든 명제가 증명 가능하고(완전성), 서로 모순된 결과를 끌어내지 않는다는 것(무모순성)을 증명하려는 야심한 기획을 내놓지만, 어떤 공리계도 자신의 완전성과 무모순성을 증명할 수 없다는 것을 증명한 괴델의 정리로 수학자들의 진리 게임은 무산된다. 괴델의 불완전성의 정리는 수학자들이 좋아하는 진리란 수학에는 존재하지 않는다는 일종의 선언이었다. 이 책은 17세기부터 19세기에 이르기까지 근대 과학혁명의 기초를 세운 수학자들의 위대한 발견과 도전을 다룬다. 운동에서 법칙을 발견하고 수학의 계산가능성을 확장한 미적분으로부터 수학의 개념을 파생?변환하면서 확립된 해석학, 기하학, 집합론에 이르기까지 수학사를 바꾼 발견들이 파노라마처럼 펼쳐진다. 수학자들의 극한의 상상력이 어디까지 나아가는지도 볼 수 있다. 철학과 수학을 넘나드는 사유의 모험 수학적 사고는 계산을 확인하는 협소한 체계가 아니다. 수학은 전제나 공리를 의심하는 근원적 사유의 공간이다. 이런 점에서 비판적 사유를 제공하는 철학이라 해도 좋을 만큼 본질적이다. 수학은 자명해 보이는 것에 대해서도 이유를 따져 묻고 적절한가의 여부를 증명한다. 그래서 집합론의 창시자 칸토어는 “수학의 본질은 자유다”라는 유명한 말을 남겼다. 지배적인 사고에 얽매여서는 수학적 사유를 창안할 수 없기 때문이다. 이런 의미에서 수학은 하나의 ‘사고방식’이며 ‘삶의 방식’이다. 이는 근대 초기의 중요한 수학자들이 과학자인 동시에 철학자였다는 사실에서 알 수 있다. 역으로 대부분의 철학자들이 수학을 통해 자신의 새로운 사유를 발전시켰다는 것 역시 수학이 철학적 사유의 지반임을 말해준다. 그런 의미에서 수학은 이미 하나의 철학이다. 그것은 당연시된 모든 것에 의문의 화살을 쏘고 종종 그 기반을 뒤집어버리는 전복적이고 혁명적인 사유의 양상들을 담고 있다. 집합론을 창시한 칸토어는 당대 수학자들로부터 미치광이 취급을 받았지만 그의 시도는 새로운 사유를 촉발하고 자극함으로써 수학의 지반을 광대하게 넓혔다. 그래서 수학 공식과 정리에는 수학자들의 갈등과 고통, 꿈틀대는 사유의 궤적이 스며 있다. 이 책을 만나는 독자들은 수학이 그동안 한 번도 접해보지 못한 거대한 사유 체계라는 점을 깨닫게 된다. 철학자 이진경의 어깨에 올라 수학을 보다! 철학자 이진경은 수학을 가지고 논다. 캘큘러스 박사와 메피스토가 영혼을 걸고 내기를 해서 탄생한 미적분학, 비유클리드기하학의 세계를 여행하는 이상한 나라의 앨리스, 괴델의 불완전성의 정리를 대담하게 극화한 프렌지오 감옥 탈출 이야기 등 역동적이고 반전 있는 이야기가 펼쳐진다. 동화, 소설, 희곡, 시나리오, 편지 등 형식을 넘나드는 글쓰기로 보통 사람들도 충분히 접근 가능한 수학으로 변주했다. 수학사의 주요 장면 장면이 재미있는 시트콤이 되었다가 촌극으로 넘어가기도 하고 진리 퀴즈로 독자의 사고력을 시험한다. 기구한 수학자의 인생 드라마도 펼쳐진다. 난해하기 그지없는 이론, 공포스러운 공식이 유머 가득한 생생한 이야기로 다시 태어났다. 이야기에는 뼈때리는 철학적 사유가 숨어 있다. 철학자 이진경은 단순히 수학 천재들이 발견한 공식의 원리나 수학사의 흐름을 기술하는 데서 멈추지 않는다. 새로운 상상력으로 그 뿌리까지 흔들어버리는 사유의 방식, 익숙한 관념에 갇힌 낡은 사고를 깨우는 수학적 발상법을 들려준다. 수학을 그저 끔찍한 과정으로 이해하는 많은 사람들에게 수학은 약동하는 시대정신이며 삶의 문제임을 이야기한다. 이 책은 수포자인 많은 학생들과 수포자였던 많은 성인 독자들을 즐거운 사유의 모험으로 안내한다. * 이 책은 『수학의 몽상』의 전면 개정판이다. 오늘의 시점에 맞게 문장을 손보고, 흐른 시간만큼 확장된 저자의 철학적, 수학적 사유를 보완하고 다듬었다.

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