이 책은 2020년 수학 열풍 한 가운데 있었던 '수학의 쓸모'의 시리즈 겪인 책으로 '미적분'에 집중하고 있는 책이다. 수학의 쓸모가 한창 열풍일 때 관심은 많으면서도 소화할 자신이 없어 망설이다. 연말에 결국 읽기는 했지만, 읽는 동안 여전히 어렵다는 생각을 떨칠 수 없었다. 데이터 분석과 통계 관련 다양한 책들을 읽으며 반복해서 등장하는 '수학'이야기를 접하다 보니 알긴 알아야 겠는데.. 하면서도 '수학과 어떻게 친해지고 그것에 익숙할 수 있을까?' 보다는 '내가 이걸 배워서 어떻게 활용하겠다는 거지? 라고 순서가 뒤바뀐 고민을 하고 있었다. 수학의 쓸모에서는 수학의 주요 7공식을 주로 데이터 분석과 통계 부분에 중점을 두고 그 공식들이 우리의 일상속에서 혹은 각 기업의 주요 서비스에서 어떻게 활용되고 있는지 설명하고 있었다. 그럼에도 내겐 쉽지 않았다. 그런 내가 그 책 속의 공식들보다 더 어려운 '미적분'을 주제로 한 책을 보겠다고 집어 들었다.

작년 여름에 'DX코드(디지털 트랜스포메이션)란 책을 읽었었다. 그 책은 DX로 사업 영역을 변환하며 경쟁하는 미국 주요 기업들(넷플릭스, 아마존, 디즈니 등)의 이야기를 다룬 책으로 그 중심엔 그들이 고객을 잡기위해 데이터 분석을 어떻게 활용하는지에 대해 꽤 구체적으로 다루고 있었다. '수학의 쓸모'에서도 이 책에서 다룬 내용과 유사한 내용들이 반복해서 등장을 해서 어려운 와중에도 견디며 읽을 수 있었는데, '미적분'을 다룬 이 책을 읽으려고 했을때 아마도 흥미 진진한 이 책의 책소개 속에서 앞서 본 두 권의 책을 떠올리며 그와 유사한 내용일 거라고 생각했었던 것 같다. 그런데, 이 책은 그 책들과는 좀 달랐다. '디즈니'의 사례가 그 한 예이다. 앞선 두 권의 책이 데이터 분석을 통해 디즈니가 고객을 확보하는 부분에 중점을 두 었다면 이 책에서는 '디즈니 컨텐츠 자체가 미적분을 활용해 어떻게 만들어 지는지를 그 사례로 들고 있다. 예를 들면 '겨울 왕국', '토이 스토리' 등의 애니메이션에서 컨텐츠 속 모든 움직임들을 자연스럽게 구현하기 위해 미분 방정식들이 활용되는 부분들을 설명하는 식이었다.

우리 주위에서 찾을 수 있는 미적분 사례

뛰는 캥거루 운전자, 그 위를 나는 미분 - 과속방지 카메라 (p.38~41)

도로 위에서 과속을 단속하기 위해 만들어진 '과속방지 카메라'는 3가지 종류가 있다고 한다. 고정식 단속카메라는 미분의 원리를 이용해 순간 속도(순간변화율)를 측정하고, 구간 단속카메라는 평균 속도(평균변화율)를 측정한다. 이동식 단속카메라는 주파수 변이에 따른 도플로효과를 이용해 과속하는 자동차를 단속한다고 한다.

이 3종류 중 '이동식 단속카메라' 첫 등장 당시 어설픈 수학 상식으로 단속을 피하려 했던 한 운전자의 에피소드가 등장한다. 이동식 단속카메라는 다가오는 차량을 향해 레이저나 초음파를 발사한 후, 반사되어 돌아오는 주파수의 변화를 측정하는데, 이 원리는 야구장에서 투수가 던진 공의 속도를 측정하는 스피드건의 원리와 같다고 한다. 소리나 빛과 같은 파동의 발생원과 관찰자의 상대 속도에 따라서 주파수나 파장이 바뀌는 현상을 '도플러효과'라고 하는데, 구급차나 소방차의 사이렌 소리가 다가올 때는 실제보다 더 크게(고주파수) 들리고 멀어질 때는 작게(저주파수)로 들리는 것이 한 예이다. 이 에피소드에서 운전자는 출발시각과 도착시각이 찍히기 때문에 평균 속도가 규정 속도를 초과한 건 인정했지만, 자신은 운전 중 한 번도 규정 속도 위반을 하지 않았다고 우긴다. (책에는 '구간 단속카메라' 첫 등장 당시의 어설픈 수학 상식으로 단속을 피하려 했던 사례와 풀이도 있다.)

운전자 : 경찰관님! 도플러효과를 아시는지 모르겠지만, 저는 분명히 녹색 신호에 교차로를 통과했습니다. 그런데 아마 도플러효과 때문에 신호등에 다가가면 실제색(적색)보다 파장이 짧은 녹색으로 보인 것 같습니다. 그러니까 신호 위반이라 할 수 없습니다.

경찰관 : 아! 그렇군요. 저도 학교 다닐 때 물리 시간에 배워서 도플러효과를 잘 알고 있습니다. (잠시후) 신호위반 대신 과속 딱지 받아가세요. 빛의 속도는 초속 3X10^8미터니까 적색으로 보이기 위해서는 5.5X10^7 헤르츠(Hz)의 속도로 운전했다는 말이네요. 이 속도는 이 도로의 규정 속도인 시속 80킬로미터를 훨씬 초과하거든요.

자연 현상을 설명하는 미분 방정식 - 디즈니 애니메이션, 삼성역 파도 스크린 (p.131~)

[영상] 삼성역 K-POP 광장 파도 스크린

[출처] https://www.youtube.com/watch?v=ZzxuftgFuoE, 유튜브 업로더 : d'strict

(책 p.145에 위 스크린의 흑백사진이 있었으나, 좀 더 생생하게 보기위해 유튜브에서 영상을 가져와봤습니다. 만약 영상 게시가 저작권에 문제 될 경우 알려주시면 바로 삭제하겠습니다.)

2020년 5월 서울 삼성역 K-POP 광장에 설치된 스크린이 전세계적으로 주목 받았다. 코로나 상황으로 외부 활동이 제약된 상황이라 여름이 다가오는데도 해수욕장들이 개장할지 여부는 불투명한 상황이었다. 그런 상황에서 도심 한 복판에서 만날 수 있는 저 생생한 파도는 사람들의 시선을 끌기에 충분했다. 이 생생한 파도 속에도 '라그랑주 승수법'으로 알고 있는 '라그랑주 미적분' 공식이 활용되었다고 한다. 이  중 SPH 기법은 각 입자별 질량 분포를 정의하고 자유로이 움직이는 입자의 상호작용을 통해 속도를 계산한다고 한다. 오일러 방식에 비해 계산 속도도 빠르고 움직임도 훨씬 자연스럽다고 한다. 이 공식에 대해 더 찾아 보니 '라그랑주 미적분'은 어떠한 문제의 최적점을 찾는 것이 아니라, 최적점이 되기 위한 '최적해의 필요 조건'을 찾는 방법이라고 한다.

뿐만 아니라 디즈니 애니메이션 '겨울왕국'에서 눈의 움직임을 표현할 때도 활용되었다고 한다. 이 컨텐츠에서는  MPM 알고리즘을 활용했다고 하는데, 눈의 입자를 개별이 아닌 연속체로 해석하여 녹는 정도에 따라 눈이 가지는 물성의 변화를 고려해서 충돌시 튕겨나가거나 눌려지는 압축성 등을 생생하게 표현할 수 있었다고 한다.

이제는 이러한 도전들이 모두 딥러닝으로 옮겨가는 상황이라 특수 분야 아니면 미적분의 활용성이 점점 줄어들고 있다고 하나, 분명한 것은 인공지능이나 딥러닝 역시 그 시작에는 미적분이 있었다는 점이다.

tvN 드라마 응답하라 1988에서 주인공 덕선이의 수학 정석 책을 보면 맨 앞부분 방정식 근처만 책이 쌔까맣게 되었었다. 나 역시 그랬었던 경험이 있어 어찌나 찔리던지 그러면서도 한참을 웃었다. 내 수학 실력도 그정도로 엉망이었다. 그런 내가 이제 겨우 수학의 중요성을 인지하고 그 장벽을 깨보겠다고 발버둥 치고 있다. 요즘 말로 이제 막 '수린이'가 되어가는 중이다. 나는 수학에 관심만 우주만큼인 수포자였다.(간절히 과거형이길 바라며..) 그런 나도 이 책을 끝까지 읽었다. 결론은 수학의 꽃으로 불리지만, 어쩌면 가장 어려운 '미적분을 다룬 이 책이 개인적으로는 '수학의 쓸모'보다 읽기 수월했다. 이해하기 쉽게 비유하자면 그 동안 관련  다른 책들을 볼 때 내용 자체를 이해하지 못했다면, 이 책은 그래도 읽는 동안 내용은 이해가 됐지만, 덮는 순간 휘발되어 사라져 버리는.. 으로 조금은 수학에 더 다가가게 만들어 준 책이다.

이 책을 읽는 독자의 수학 지식 수준에 따라 달라지겠지만, 흥미로운 내용이 가득 담겨있다. 과속방지 카메라에 미적분이 활용되고, 과속 단속에 걸린 운전자가 경찰관 앞에서 어설픈 수학 지식으로 변명하다 망신 당했던 사례, 디즈니의 애니메이션 속 생생한 움직임들이 미적분 활용 덕분이라는 사실, 코로나로 외부 활동이 (지금보다 훨씬 더) 어려웠던 작년 이맘즈음 코엑스 광장에 설치되었던 파도 스크린 역시 미적분이 활용 되었고, 주식 예측에도 미적분이 활용되는 등 다양한 생활 속 미적분 활용사례를 만날 수 있다. 이런 사례들은 미적분에 대한 두려움을 떨치는 데 많은 도움이 되었다.

과거를 적분하면 현재가 보이고, 현재를 미분하면 미래가 보인다.

그럼에도 불구하고 '미적분이 생활 속에서 유용하게 쓰이는 건 알겠는데.., 그래도 관련자 아니면 쓸일이 있을까?'라는 의문을 여전히 갖고 있는 사람이 있을 것이란 생각이 들기도 한다. 기술 발달로 그것을 개발하는 과정은 점점 더 힘들어 지겠지만, 그렇게 만들어진 결과물들의 사용법은 점점 더 간편하고 쉬워질 테니까 말이다. 그렇게 손쉬운 사용법에 익숙해진 소비자들이(우리들이) 기본 원리를 생각하게 될까? 미래 예측의 강력한 도구 중 하나로 대두된 '인공지능' 역시 미적분 방정식을 토대로 탄생되었지만, 그러한 인공지능이 오히려 미적분을 사라지게 만들고 있다고 우려를 표하며 책을 마무리 하는 저자의 글을 보니 '미적분' 뿐만 아니라 수학의 중요성을 인지하면서도 어렵다는 핑계로 쉽게 다가가지 못하거나 미리 포기해 버리는 사람들이 왜 그 장벽을 넘지 못하는지 생각해 보게 된다. 나 역시 그 중 한 명일지도 모르겠다.

책을 읽는 동안 등장했던 다양한 미적분 공식들은 페이지를 넘길수록 그 길이가 계속해서 늘어났다. 글자로 서술된 어려운 풀이는 우려와 달리 이해했지만, 그 공식을 보면 무슨일 있었냐는 듯 이해했던 내용들이 휘발되어 버렸다. 그렇지만, 이 책을 읽으면서 아주 간단해도 좋으니 그 공식을 스스로 풀어보고 싶은 욕구가 생겼다. 다시 수학의 정석을 잡는 일이 생길 것 같지는 않지만, 또 다른 미적분 관련 책을 만나 공식을 만나면(물론 기초적이어야 겠지만..) 그 때는 꼭 공식을 풀어보고 싶다. 만약에 그 일이 성공한다면, 미적분에 흥미를 갖게 해준 이 책 덕분일 것이다.

** 본 게시글은 YES24 리뷰어클럽 서평단 자격으로 작성한 리뷰입니다. **