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- 출간일
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2004년 11월 25일
479쪽 | 846g | 크기확인중
- ISBN-13
9788984010895
ISBN-108984010898
- 절판
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케플러의 추측 : ‘페르마의 마지막 정리’와 더불어 가장 오랫동안 해결되지 않았던 수학사 최대의 난제
16세기 말, 영국의 귀족이자 항해가인 월터 랠리 경은 배에 포탄을 적재하는 최선의 방법을 알고 싶어 했다. 이 평범한 호기심으로부터 수학사 최대의 난제 중 하나가 탄생한다. 1611년 당대 최고의 수학자이자 천문학자인 요하네스 케플러는 이 문제를 접하고는 오래지 않아 간단명료한 해답을 내놓았다.
즉, 청과물 상인이 오렌지나 토마토를 쌓을 때처럼 하는 것이 가장 조밀하게 쌓는 방법이라는 것이다.(본문 28~29쪽 그림 참조) 이 방식이 소위 ‘육방 밀집 쌓기(HCP)’이다. 이때의 밀도는 74.05퍼센트에 이르며, 결국 이것이 3차원 구 쌓기의 최대 밀도로 판명된다. 실생활에서는 상인들을 비롯해서 누구나 아는 상식이었지만 이 사실을 수학자들이 엄밀하게 증명해 내기까지는 이후 무려 387년이라는 세월이 필요했다. 일견 지극히 간단해 보이는 사실도 이렇게 수학의 세계로 넘어오면 복잡하고 미묘한 기하학적 수수께끼가 된다. 그리고 여기에 바로 수학의 순수한 매력과 오묘함이 있는 것이다. 이 책은 수학사 최대의 수수께끼 중 하나였던 ‘케플러의 추측’을 아드리아네의 실 삼아 수학의 아름다운 미궁 속으로 우리를 안내해 준다.
이 책에는 케플러의 추측에 직, 간접적으로 관여했던 수십 명의 수학자들이 등장한다. 요하네스 케플러로부터 아이작 뉴턴, 라그랑주, 수학의 황제로 불리는 카를 프리드리히 가우스, 악셀 튜에, 라슬로 페에스토트, 다비트 힐베르트, 우이 시앙……그리고 추측을 최종적으로 증명해 낸 토머스 헤일스. 이중 라그랑주나 가우스 같은 이들은 직접 원 쌓기 문제를 다루지는 않았지만 이 문제를 풀 수 있는 수학적 기초를 마련해 놓은 인물들이다. 이처럼 케플러의 추측 주변에는 수학사에 등장했던 기라성 같은 천재 수학자들이 포진하고 있으며, 수학의 여러 영역의 지식들이 복합적으로 맞물려 있다. 그리고 이 문제가 해결되기까지의 도정 속에 수학의 진보와 발전 과정이 고스란히 녹아들어 있음은 물론이다.
저 : 조지 G. 슈피로
역자 : 심재관
건국대학교 영문학과와 고려대학교 수학과를 졸업했다. 미국 일리노이 주립대학에서 박사학위를 취득하고 경북대학교 위상기하연구소 연구원, 서울대학교 BK21 연구원을 역임했다. 현재 고려대학교 강사로 있으며, 옮긴 책으로는《존재하는 무 0의 세계》《피그말리온 효과》《타임머신》《그림 없는 그림 책》등이 있다.
◇ 케플러 추측의 증명
케플러의 추측이 마침내 증명된 것은 1998년 미시건 대학의 젊은 수학자 토머스 헤일스에 의해서였다. 그것도 상당 부분을 컴퓨터 계산에 의존해야 했다. 공교롭게도 그보다 수십 년 전 헝가리 수학자 라슬로 페에스토트는 이 문제 증명에 컴퓨터가 활용될 것임을 정확하게 예견했었다. 페에스토트는 2차원에서의 쌓기 문제를 해결한 인물로, 헤일스는 그에 대한 존경을 표하면서 “오랜 세월 동안 케플러 문제에 천착해 오면서 나는 페에스토트가 그 어느 누구보다도 문제의 본질을 제대로 꿰뚫고 있었다는 사실을 깨닫게 되었다”고 밝힌 바 있다.
케플러 추측의 증명은 토머스 헤일스 한 사람의 공이 아니다. 지난 400년 동안 당대 최고의 두뇌를 자랑하던 천재 수학자들이 이 문제에 도전했었다. 그들은 최종적인 증명을 향해 조금씩 다가가며 한 걸음씩 내딛었고, 토머스 헤일스는 그 마지막 걸음의 주인공이었을 뿐이다. 이 책은 그 역사적인 추이를 따라가는 구성으로 이뤄져 있다.
케플러가 내놓은 추측은 각각의 구가 12개의 구에 의해 둘러싸이도록 하면 가장 밀도가 높은 배열을 얻게 된다는 것이었다. 이것이 곧 ‘육방 밀집 쌓기’이며, 그 밀도는 74.05퍼센트이다. 케플러는 이후 수백 년 동안 수학자들을 괴롭히게 될 문제를 이렇게 던져놓고 아무런 논증도 내놓지 않았다. 이에 대한 증명은 74.05퍼센트보다 높은 밀도의 배열이 과연 존재하는가가 핵심이었다. 그러한 배열이 존재하지 않는다는 것만 증명하면 문제는 해결된다. 심증은 있지만(물리학자들 또는 심지어 청과물 상인들에게도 이것은 상식이었다), 증명은 넘을 수 없는 벽처럼 생각되었다.
수학자들은 한 걸음씩 전진한다. 20세기 들어 모든 노력의 초점은 최고 쌓기 밀도의 상계값을 74.05퍼센트로 끌어내리는 데 모아졌다. 즉, 어떤 배열의 밀도도 이 비율을 넘지 않음을 증명해야 했다. 물론 상상할 수 있는 최대치의 상계는 100퍼센트이다. 수학자들은 100퍼센트에서 출발하여 상계를 74.05까지 끌어내려야 했다. 첫 걸음은 블리크펠트가 내딛었다. 그는 1919년 모래로 구를 채우는 방법을 사용하여 상계를 88.3퍼센트로 낮추었고, 1929년에는 다시 83.5퍼센트까지 낮추었다. 그로부터 18년 후인 1947년 로버트 랭킨은 블리크펠트의 방식을 최대한으로 활용하여 상계값을 82.7퍼센트로 낮추었다.(0.8퍼센트 낮추는 데 18년이 걸렸...◇ 케플러 추측의 증명
케플러의 추측이 마침내 증명된 것은 1998년 미시건 대학의 젊은 수학자 토머스 헤일스에 의해서였다. 그것도 상당 부분을 컴퓨터 계산에 의존해야 했다. 공교롭게도 그보다 수십 년 전 헝가리 수학자 라슬로 페에스토트는 이 문제 증명에 컴퓨터가 활용될 것임을 정확하게 예견했었다. 페에스토트는 2차원에서의 쌓기 문제를 해결한 인물로, 헤일스는 그에 대한 존경을 표하면서 “오랜 세월 동안 케플러 문제에 천착해 오면서 나는 페에스토트가 그 어느 누구보다도 문제의 본질을 제대로 꿰뚫고 있었다는 사실을 깨닫게 되었다”고 밝힌 바 있다.
케플러 추측의 증명은 토머스 헤일스 한 사람의 공이 아니다. 지난 400년 동안 당대 최고의 두뇌를 자랑하던 천재 수학자들이 이 문제에 도전했었다. 그들은 최종적인 증명을 향해 조금씩 다가가며 한 걸음씩 내딛었고, 토머스 헤일스는 그 마지막 걸음의 주인공이었을 뿐이다. 이 책은 그 역사적인 추이를 따라가는 구성으로 이뤄져 있다.
케플러가 내놓은 추측은 각각의 구가 12개의 구에 의해 둘러싸이도록 하면 가장 밀도가 높은 배열을 얻게 된다는 것이었다. 이것이 곧 ‘육방 밀집 쌓기’이며, 그 밀도는 74.05퍼센트이다. 케플러는 이후 수백 년 동안 수학자들을 괴롭히게 될 문제를 이렇게 던져놓고 아무런 논증도 내놓지 않았다. 이에 대한 증명은 74.05퍼센트보다 높은 밀도의 배열이 과연 존재하는가가 핵심이었다. 그러한 배열이 존재하지 않는다는 것만 증명하면 문제는 해결된다. 심증은 있지만(물리학자들 또는 심지어 청과물 상인들에게도 이것은 상식이었다), 증명은 넘을 수 없는 벽처럼 생각되었다.
수학자들은 한 걸음씩 전진한다. 20세기 들어 모든 노력의 초점은 최고 쌓기 밀도의 상계값을 74.05퍼센트로 끌어내리는 데 모아졌다. 즉, 어떤 배열의 밀도도 이 비율을 넘지 않음을 증명해야 했다. 물론 상상할 수 있는 최대치의 상계는 100퍼센트이다. 수학자들은 100퍼센트에서 출발하여 상계를 74.05까지 끌어내려야 했다. 첫 걸음은 블리크펠트가 내딛었다. 그는 1919년 모래로 구를 채우는 방법을 사용하여 상계를 88.3퍼센트로 낮추었고, 1929년에는 다시 83.5퍼센트까지 낮추었다. 그로부터 18년 후인 1947년 로버트 랭킨은 블리크펠트의 방식을 최대한으로 활용하여 상계값을 82.7퍼센트로 낮추었다.(0.8퍼센트 낮추는 데 18년이 걸렸다!)
하지만 1943년에 이미 페에스토트는 보로노이 셀(V-셀)을 이용하여 상계를 75.46퍼센트까지 낮추는 데 성공한 바 있었다. 그러나 증명 과정에 오류가 발견되어 공인받지 못했다. 이후 1958년 클로드 앰브로스 로저스는 페에스토트의 방식을 개선하여 77.97퍼센트라는 값을 얻었다. “수십 년 동안 로저스의 상계는 마치 기하학의 사막이라는 황량한 들판에 외로이 서 있는 등대처럼 그곳을 지나는 이들을 인도해 주었다. 새로운 결과가 나올 때면 언제나 로저스의 상계와 비교해 그 평가가 이루어졌다.
근 30년 동안 어느 누구도 로저스의 기록을 깨지 못했다.”(231쪽) 그러다 1987년 일리노이 대학의 린지가 77.84퍼센트의 상계를 얻었다.(0.13퍼센트 낮추는 데 29년이 걸렸다!) 그 이듬해 더그 머더는 77.836퍼센트를 얻었고, 이어 1993년에는 77.306퍼센트까지 낮추는 데 성공했다. V-셀 방식을 최대한으로 활용한 결과였다.(블리크펠트의 첫 시도 이래로 74년 만에 0.77306퍼센트 낮춘 셈이다. 100미터 달리기 세계기록 단축 속도와의 흥미로운 비교는 237쪽 참조.) 한편, 3차원에서 가장 효율적인 구 쌓기의 하계(최소치)가 74.05퍼센트라는 사실은 이미 가우스 시대에 밝혀졌던 것이다.
위와 같은 선대 수학자들의 연구 성과를 이어받은 토머스 헤일스는 보로노이 셀 분할과 들로네 삼각분할 방식을 접목시키는 새로운 방식을 도입하고, 구간 연산과 선형계획법을 활용하여 케플러의 추측을 증명해 냈다. 이에 따른 복잡한 계산을 수행하는 데에는 C플렉스와 매스매티카라는 컴퓨터 프로그램이 사용되었다.
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